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极限、无穷小、无穷大、无界,它们隐含着重要的信息!

发布日期:2022-08-16 13:48    点击次数:84


大家好,今天我们聊一聊极限、无穷小、无穷大、无界之间的联系。

好多备战考研数学的同学,在复习第一章函数-极限与连续的知识点时,身边的教材里,只给出了极限、无穷小以及无穷大之间的联系。

少介绍一个:无穷大和无界之间的联系。

诺,不说假话,宝刀君放图吧,比如李范全书Page-14:

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图为李范全书

事实上呢,关于无穷大和无界的关系,也是很容易混淆学生的概念。

读到这里,你以为我接下来是要讲无穷大和无界之间的联系了吗?

其实并不是,我们先不着急。

今天的文章,主要讲2个内容:

一个是上图画红框的地方:无穷小和极限的联系的用途?

第二个是无穷大和无界之间的联系。

OK,下面宝刀君就义不容辞的出场献丑了。

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无穷小和极限的联系,它的用途是?

按李范书上所言,当x趋于x0时,一个函数的极限是A,那么这个函数f(x)可以写为A+alpha(x),其中这个alpha(x)是x趋于x0时的无穷小。

这么写,有什么用途呢?

宝刀君送你四个字:化繁为简!

再送你六个字:化抽象为具体!

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这是什么意思呢?

化繁为简是说,我看到那极限符号不顺眼,我嫌它复杂,太繁琐了,不想每次一动笔就是lim, 监控直播我烦了,于是乎,借助于无穷小,我可以将极限符号去掉,得到简单的函数表达式。

化抽象为具体是说:原本我这个函数f(x)啊,是一个抽象的函数,我压根就不知道它的解析式是什么?但是借助于无穷小,我就能进而得到函数f(x)的解析式,这是具体的!

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干巴巴的说没意思,举个例子吧。

比如说,对于下面这个极限:

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例1

你只知道该函数的极限值是3,但是对于函数f(x),你一无所知。

但是如果对该极限进一步操作,管道配件可以得到:

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举例1变形

看到了吗?

通过借助于无穷小,我们得到了函数f(x)的解析表达式,这比之前的好多了,用这个骚骚的操作,就可以对一些涉及函数性质的选择题做快速的判断啦!

以上,就叫做化繁为简、化抽象为具体。

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2

无穷大和无界之间的联系

有同学问宝刀君:无穷大就是无界?无界就是无穷大?这两句话谁是正确的?

当然是第一句啦!

无穷大就是无界,这句话是正确的!

无穷大就是无界,这句话很好理解,你都顶上天了,你肯定是无界的!

那为什么第二句无界就是无穷大是错误的呢?你能给小僧(准研究僧)个例子吗?

完全可以啊!

比如说,有一个函数是:

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我们可以看到,在这个函数里,如果该函数是有界的,那么你得找到一个临界值M,如果它是无界的,那么只需要该函数有无穷大即可。

很明显,余弦函数cosx取1时,x为2kπ,y趋于无穷大时,x趋于无穷大,即k趋于无穷大,但是这个k是从基础的0,1,2,3开始取的,并不是一直取无穷大。

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看看该函数的图像,只有x趋于无穷大时,才为无界,所以它是无界的。

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虽然它是无界的,但是它也不是一直都是无穷大。

因此,该函数就充分说明了:无穷大是无界的充分不必要条件!无界不一定无穷大!

类似的,像函数lim x*sinx也是一样的道理,感兴趣的同学可以推导下。

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总结

宝刀君今天给大家分享的考研数学知识点呢,是对全书上“极限、无穷小以及无穷大之间的联系”该知识点的一个补充,希望对考研学子的复习有帮助!谢谢大家的捧场阅读!



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